توپولوژی چیست ؟
توپولوژی (مکان شناسی)، مطالعه ریاضیاتی روی خصوصیاتی است که در طی تغییر شکلها ، ضربه خوردن ها و کشیده شدن اشیاء ، به طور ثابت حفظ میشوند (البته عمل پاره کردن مجاز نمی باشد). یک دایره به لحاظ توپولوژیکی هم ارز بیضی میباشد که می تواند در داخل آن با کشیده شدن تغییر شکل یابد و یک کره به سطح بیضی وار هم ارز است( یعنی یک منحنی بسته تک بعدی و بدون هیچ محل تقاطع که میتواند در فضای دو بعدی جای گیرد)، مجموعه تمام وضعیتهای ممکن برای عقربه های ساعت شمار و دقیقه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژیکی با چنبره هم ارز است (یعنی یک سطح دوبعدی که می تواند در داخل فضای سه بعدی جای گیرد) و مجموعه تمام وضعیت های ممکن برای عقربه های ساعت شمار ، دقیقه شمار و ثانیه شمار با هم ، به لحاظ توپولوژی با یک شیء سه بعدی هم ارز می باشد.
البته توپولوژی فقط این نیست. توپولوژی با منحنی ها ، سطوح و سایر اشیاء در صفحه و فضای سه بعدی مطرح گردید. یکی از ایده های اصلی در توپولوژی این است که اشیاء فضایی مثل دایره ها و کره ها در نوع خود میتوانند به عنوان اشیاء محسوب شوند و علم اشیاء ارتباطی با چگونگی نمایش یافتن یا جای گرفتن آنها در فضا ندارد. برای مثال ، عبارت " اگر شما یک نقطه را از دایره بیرون بکشید، یک پاره خط حاصل خواهد شد " ، درست به همان اندازه که برای دایره صادق است برای بیضی و حتی دایره های پیچ خورده و گره دار نیز صدق می کند، چرا که این عبارت فقط خصوصیات توپولوژیکی را شامل می شود .
توپولوژی با مطالعه مواردی چون اشیاء فضایی از قبیل منحنی ها، سطوح، فضایی که ما آن را جهان می نامیم ، پیوستار فضا زمان با نسبیت عمومی، فراکتال ها، گره ها ، چند شکلی ها (اشیایی هستند که برخی خصوصیات فضایی اصلی آن ها مشابه با جهان ما می باشد)، فضا های مرحله ای که در فیزیک با آن ها مواجه می شئیم ( مثل فضای وضعیت های قرار گرفتن عقربه ها در ساعت) ، گروه های متقارن همچون مجموعه شیوه های چرخاندن یک رأس و غیره در ارتباط است.
توپولوژی برای جدا سازی اتصال ذاتی اشیاء و در عین حال کنار گذاشتن ساختار جزء به جزء آنها قابل استفاده می باشد.
اشیاء توپولوژیکی اغلب به صورت رسمی به عنوان فضا های توپولوژیکی تعریف می شوند. اگر دو شیء دارای خصوصیات توپولوژیکی مشابه باشند ، گفته می شود که آن ها هم ریخت هستند.البته اگر دقیق تر بگوییم ، خصوصیاتی که با کشیدن یا کج کردن یک شیء تخریب نمی شوند ، در واقع خصوصیاتی هستند که به واسطه همسانگری حفظ می شوند نه به واسطه ی هم ریختی؛ همسانگری با کج کردن اشیاء دیگر در ارتباط است در حالیکه همریختی ، خصیصه ذاتی است).
حدود سال 1900 ، (پوانکاره poincare) ، معیاری از توپولوژی را تحت عنوان هوموتوپی (Homotopy) طراحی کرد(کولینز . 2004) . به طور خاص دو شیء ریاضیاتی زمانی هوموتوپیک خوانده می شوند که یکی از آنها بتواند به طور پیوسته به شکلی مشابه شکل دیگری تغییر یابد.
توپولوژی بر سه قسم است: توپولوژی جبری(که توپولوژی ترکیبی نامیده میشود) توپولوژی نا همسان و توپولوژی کم بعدی. یک تعریف رسمی نیز برای توپولوژی که بر حسب عملیات های مجموعه ای تعریف میشوند ، وجود دارد. یک مجموعه X به همراه یک مجموعه T از زیر مجموعه آن ، در صورتی یک توپولوژی محسوب می شود که زیر مجموعه ها در T از خصوصیات زیر پیروی نمایند:
1- زیر مجموعه های ناچیز X و مجموعه تهی در T باشند.
2- هر گاه مجموعه ای A و B در T باشند ، آنگاه اشتراک انها هم در T باشد.
3- هر گاه دو یا چند مجموعه در T باشند آنگاه اجتماع آن ها نیز چنین است.
+ نوشته شده در چهارشنبه بیستم آبان ۱۳۸۸ ساعت 14:48 توسط فواد بروجردی
|